Definition and meaning of Área

  O paralelogramo tem área 4, o círculo tem área e o triângulo tem área .

Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de superfície.^[1]

Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e sub-múltiplos.^[2] São também muito usadas as medidas agrárias: are, que equivale a cem metros quadrados; e seu múltiplo hectare, que equivale a dez mil metros quadrados. Outras unidades de medida de área são o acre e o alqueire.

Na geografia e cartografia, o termo "área" corresponde à projeção num plano horizontal de uma parte da superfície terrestre. Assim, a superfície de uma montanha poderá ser inclinada, mas a sua área é sempre medida num plano horizontal.

  Definição formal

Ver também: Medida de Jordan

Uma abordagem para definir o que se entende por área é por meio de axiomas. Por exemplo, pode-se definir área como sendo uma função a de uma coleção M de figuras planas de um tipo especial (denominadas conjuntos mensuráveis) no conjunto dos números reais satisfazendo as seguintes propriedades:

• Para qualquer S em M, a(S) ≥ 0.
• Se S e T estão em M então S ∪ T e S ∩ T também estão e, além disso, a(S∪T) = a(S) + a(T) − a(S∩T).
• Se S e T estão em M e S ⊆ T então T − S está em M e a(T−S) = a(T) − a(S).
• Se um conjunto S está em M e S é congruente a T então T também está em M e a(S) = a(T).
• Todo retângulo R está em M. Se o retângulo tem largura h e altura k então a(R) = hk.
• Seja Q um conjunto limitado entre duas regiões com degraus, S e T. Uma região com degraus é formada a partir de uma união finita de retângulos adjacentes apoiados em uma mesma base, isto é, S ⊆ Q ⊆ T. Se existe um único número c tal que a(S) ≤ c ≤ a(T) para quaisquer regiões step S e T, então a(Q) = c.

Pode ser demonstrado que existe uma tal função área. (Veja, por exemplo, Elementary Geometry from an Advanced Standpoint de Edwin Moise.)

  Unidades

Ver artigo principal: Unidades de área

  Um metro quadrado delimitado por tubos de PVC.

Cada unidade de comprimento tem uma unidade de área correspondente, igual à área do quadrado que tem por lado esse comprimento. Desta forma, as áreas podem ser medidas em metros quadrados (²), centímetros quadrados (cm²), milímetros quadrados (mm²), quilómetros quadrados (km²), pés quadrados (ft²), jardas quadradas (yd²), milhas quadradas (mi²), e assim por diante. Algebricamente, estas unidades são os quadrados das unidades de comprimento correspondentes.

A unidade do Sistema Internacional para área é o metro quadrado, que é considerado uma unidade derivada de SI.

  Conversões

  Embora haja 10 mm num cm, há 100 mm² num cm².

A conversão entre duas unidades quadradas é o quadrado do fator de conversão entre as unidades de comprimento correspondentes. Por exemplo, como

1 Pé = 12 polegadas,

é a relação entre pés quadrados e polegadas quadradas, temos que

1 pé = 144 polegadas quadradas,

sendo 144 = 12² = 12 × 12. Da forma análoga:

• 1 quilómetro quadrado = 1 milhão de metros quadrados
• 1 metro quadrado = 10 000 centímetros quadrados = 1 000 000 milímetros quadrados
• 1 centímetro quadrado = 100 milímetros quadrados
• 1 jarda quadrada = 9 pés quadrados
• 1 milha = 3.097.600 jardas quadradas = 27.878.400 pés quadrados

  Outras unidades

Existem várias outras unidades usadas para áreas. O are foi a unidade de medida original do sistema métrico para a área.

• 1 are = 100 metros quadrados

Embora o are tenha caído em desuso, o hectare ainda é muido usado para medir terrenos e propriedades:

• 1 hectare = 100 ares = 10 000 metros quadrados = 0,01 quilómetros quadrados

Outras unidades métricas menos habituais para a área incluem a tétrade, hectade e miríade.

O acre também é muito usado na medição da área de terrenos, sendo

• 1 acre = 4.840 jardas quadradas = 43.560 pés quadrados.

Um acre é aproximadamente 40% de um hectare.

  Fórmulas de cálculo

  Retângulo

  Retângulo com área lw.

A mais simples fórmula de cálculo de uma área é a do retângulo Dado um retângulo com base l e altura w, a sua área é:

(área do retângulo)^[3]

Ou seja, a área do retângulo é obtida multiplicando a largura pela altura. Um caso particular é a área do quadrado; sendo l o comprimento do seu lado, a sua área é:

(área do quadrado)^[3]

A fórmula para a área do retângulo decorre diretamente das propriedades básicas da área, e por vezes é tomada como uma definição ou axioma. Tendo a geometria sido desenvolvida antes da aritmética, o conceito de área pode ser usado para definir a multiplicação de números reais.

  Dissecção de um paralelogramo.

  Fórmulas por dissecção

A maioria das outras fórmulas simples para o cálculo da área seguem o método da dissecção. Como o nome indica, este método envolve seccionar a figura em partes mais simples, calcular a área de cada uma dessas partes, que somadas resultarão na área da figura original.

Por exemplo, um paralelogramo pode ser dividido num trapezóide e num triângulo retângulo, como ilustrado pela figura da esquerda. Se movermos o triângulo para o outro lado do trapezóide, o resultado é um retângulo. A conclusão é que a área do paralelogramo é igual à do retângulo:

  Dois triângulos iguais.

(área do paralelogramo)

O mesmo paralelogramo pode ser dividido em dois triângulos congruentes através de um corte na diagonal, como mostrado na figura da direita:

(área do triângulo)

É possível fazer raciocínios semelhantes para obter fórmulas para as áreas do trapezóide, do losango e de outros polígonos mais complicados.

  Área de outros polígonos

Área do trapézio:

(B = base maior; b = base menor; h = altura)^[4]

Área do losango:

(D = diagonal maior; d = diagonal menor)^[5]

Área de qualquer polígono regular:

(P = perímetro; a = comprimento do apótema)^[6]

  Dividindo o círculo em setores que podem ser rearranjados num paralelogramo aproximado.

  Círculo

A área de um círculo também pode ser calculada através do método de dissecção. Dado um círculo com raio é possível dividi-lo em setores. Cada setor tem uma forma aproximadamente triangular, e os setores podem ser rearranjados para formar uma figura próxima de um paralelogramo. A altura do paralelogramo é e a largura é metade da circunferência do círculo, ou seja, . Resulta que a área do círculo é , ou seja, :

(área do círculo; r = raio)^[7]

Embora a dissecação usada na fórmula seja aproximada, o erro torna-se cada vez mais pequeno à medida que usamos setores cada vez mais pequenos. O limite da área quando o tamanho dos setores tendo para zero é exatamente , que corresponde à área do círculo.

Este raciocínio é uma aplicação simples dos conceitos do cálculo. No passado, o método da exaustão foi usado de forma semelhante para encontrar a área do círculo, sendo reconhecido como um precursor do cálculo integral. Usando os métodos modernos, a área do círculo pode ser calculada usando um integral:

  Área de uma superfície

  Arquimedes relacionou a área e volume da esfera com o cilindro.

A maioria das fórmulas para o cálculo da área de uma superfície pode ser obtida cortando e endireitando a superfície. Por exemplo, a superfície de um cilindro pode ser cortada e estendida formando um retângulo. Da mesma forma, a superfície de um cone pode ser cortada e endireitada num setor de um círculo, para permitir o cálculo da sua área.

O cálculo da área da superfície de uma esfera é mais complexo, pois a curvatura da superfície dificulta a sua projeção num plano direito. Isso acontece com sólidos com curvatura gaussiana diferente de zero. O primeiro a obter uma fórmula para o cálculo da área de uma esfera foi Arquimedes na sua obra Sobre a Esfera e o Cilindro. Provou que a área e volume da esfera é exatamente 2/3 da área e volume do cilindro que a envolve. Tal como acontece com a área do círculo, a fórmula para a área da esfera resulta de métodos similares aos do cálculo.

Á área de uma esfera com raio é:

(área da esfera)

  Lista de fórmulas

Fórmulas comummente usadas para o cálculo da área

Figura	Formula	Variáveis
Triângulo equilátero		é comprimento de um lado do triângulo.
Triângulo		é metade do perímetro, , e é o comprimento de cada um dos lados.
Triângulo		e são quaisquer dois lados, e é o ângulo entre eles.
Triângulo		e são a base e altura (medida perpendicularmente à base), respetivamente.
Quadrado		é o comprimendo de um dos lados do quadrado.
Retângulo		e são o comprimento de cada um dos lados do retângulo.
Losango		e são o comprimento de cada uma das diagonais do losango.
Paralelogramo		é o comprimento da base e é a altura medida na perpendicular.
Trapezóide		e são os lados paralelos e a distância (altura) entre os lados paralelos.
Hexágono regular		é o comprimento de um dos lados do hexágono.
Octógono regular		é o comprimento de um dos lados do octógono
Polígono regular		é o comprimento de um dos lados e o número de lados.
Polígono regular		é o raio do círculo circunscrevente, o raio do círculo interior, e é o número de lados.
Polígono regular		é o apótema (raio do círculo interior ao polígono) e é o perímetro do polígono.
Círculo		é o raio e o diâmetro.
Setor circular		e são, respetivamente, o raio e ângulo (em radianos).
Elipse		e são o semieixo maior e semieixo menor, respetivamente.
Área total da superfície do cilindro		e são o raio e altura do cilindro.
Superfície lateral do cilindro		e são o raio e altura do cilindro.
Superfície total do cone		e são o raio e a distância do vértice ao círculo base, respetivamente.
Superfície total da esfera		e são o raio e o diâmetro, respetivamente.
Superfície total da pirâmide		é a área da base, o perímetro da base e a distância do vértice aos cantos da base.

Referências

  Ver também

• Unidades de área