Definition and meaning of Bramble-Hilbert-Lemma

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In der Mathematik, besonders in der numerischen Analysis, schätzt das Bramble-Hilbert-Lemma, benannt nach James H. Bramble und Stephen R. Hilbert, den Fehler bei Approximation einer Funktion durch ein Polynom der höchstens mit Hilfe der Ableitungen -ter Ordnung von ab. Sowohl der Approximationsfehler als auch die Ableitungen von werden durch -Normen auf einem beschränkten Gebiet im gemessen. In der klassischen numerischen Analysis entspricht dies einer Fehlerschranke mit Hilfe der zweiten Ableitungen von bei linearer Interpolation von . Jedoch gilt das Bramble-Hilbert-Lemma auch in höheren Dimensionen, und der Approximationsfehler und die Ableitungen von können dabei durch allgemeinere Normen gemessen werden, nämlich nicht nur in der Maximumnorm, sondern auch in gemittelten -Normen.

Zusätzliche Regularitätsannahmen an den Rand des Gebiets sind für das Lemma von Bramble-Hilbert erforderlich. Lipschitz-Stetigkeit des Randes ist hierfür ausreichend, insbesondere gilt das Lemma für konvexe Gebiete und -Gebiete.

Die Hauptanwendung des Lemmas von Bramble-Hilbert ist der Nachweis von Fehlerschranken mit Hilfe der Ableitungen bis zur -ten Ordnung für den Fehler bei Approximation durch einen Operator, der Polynome der Ordnung höchstens erhält. Das ist ein wesentlicher Schritt beim Nachweis von Fehlerschätzungen für die Finite-Elemente-Methode. Das Lemma von Bramble-Hilbert wird dort auf dem Gebiet angewandt, das aus einem Element besteht.

Formulierung

Es sei ein beschränktes Gebiet im mit Lipschitz-Rand und Durchmesser . Weiter sei beliebig und .

Das Lemma von Bramble-Hilbert besagt nun, dass zu jedem ein Polynom existiert, dessen Grad höchstens beträgt, so dass die Ungleichung

mit einer Konstanten erfüllt ist. Hierbei steht für den Sobolew-Raum.

Weblinks

• Raytcho D. Lazarov: Bramble-Hilbert lemma. In: Encyclopaedia of Mathematics (englisch)..